THE PLANETARY Z-AXIS AND LEVITATION
From:
Doc Stars <doc_starz@yahoo.com>
TO : sound_of_stars@yahoogroups.com
Subject: THE PLANETARY Z-AXIS AND LEVITATION
Received: Monday, January 30, 2012, 1:43 AM
THE PLANETARY Z-AXIS AND LEVITATION
From:
Doc Stars <doc_starz@yahoo.com>
TO : sound_of_stars@yahoogroups.com
Subject: THE PLANETARY Z-AXIS AND LEVITATION
Received: Monday, January 30, 2012, 1:43 AM
THE PLANETARY Z-AXIS
AND LEVITATION
http://keelynet.com/gravity/deckcorr.htm
the late Engineer
Leonard Flotte, wrote an excellent book refuting the Einstein principles of
Relativity. He uses a helixial system to describe planetary rotation, how such
forces could be tapped, the relationship to time, gravity and other correlates.
>
I have spoken to the son, who understands almost nothing of his fathers work
beyond saying that yes, his father had refrained from stating certain aspects
of his research in the published book.
>
> Essentially, all planetary orbits can be mapped
onto a cylinder of a fixed length. The orbit, though longer in some cases,
shorter in others, simply spirals around the cylinder MORE times dependent on
its length. Thus, a reference frame is established known as the 'Z' axis. This
'Z' axis is thus a measure of the rotation VELOCITY of a planetary mass
aggregate, otherwise known as its orbit.
>
> The orbit of each planet is an indication of the
energy level associated with that REGION OF SPACE and clues us into how we can
transcend time and gravity by EXCEEDING the 'Z' axis, i.e. accelerating the
energy level of a mass to exceed the energy level for our particular location
in space.
>
> This correlates perfectly with Russell, Pawlicki
and Nieper (among others) who state that the closer to the sun or other RADIANT
bodies, the greater is the energy density for that region of space. Thus, the
farther one moves FROM such a radiant body, the less energetic is the local
environment.
>
> All this points to equating levitation as spitting
a wet watermelon seed, from one pressure zone (energy level) to another, based
on the focussed energy level IN a mass neutral center.
Re: Fw: THE PLANETARY Z-AXIS AND LEVITATION
Monday, January 30, 2012 2:59 AM
From:"Doc Stars" <doc_starz@yahoo.com>
View contact details
To:"Michael Heleus" <mheleus@>
Cc :"Luke Gatto" <lukegatto99@>
Love it! Thanks for sending this!
--- On Mon, 1/30/12, Michael Heleus <mheleus@q.com> wrote:
From: Michael Heleus <mheleus@>
Subject: Re: Fw: THE PLANETARY Z-AXIS AND LEVITATION
To: "Doc Stars" <doc_starz@yahoo.com>
Cc: "Luke Gatto" <lukegatto99@>
Received: Monday, January 30, 2012, 2:55 AM
Flotte's cylindrical spiral orbits sound like simplified
versions of Dr. Charles Muses' 'elliptic Cassinian' orbits which have one nodal
oval of an elliptic Cassinian for a cross section instead of a circle or
ellipse. I think this was reported as a research note of his in an issue of his
'Consciousness and Reality' magazine back in the '70's..
Maybe Luke, who knew Muses a lot better than I, might
still have a copy.....or maybe Jerry Decker at Keelynet .
And note the sections on Cassinian ovals in English in the
below collection of egg math formulas, like:
> At 7:23 PM -0700 1/29/12, Michael Heleus wrote:
>> Toric sections - hippopede of Proclus:
analyzed by Perseus
>>
>> The toric with two radii 'c' and
'd'.
>> 4 c^2 (x^2 + z^2) =
(x^2 + y^2 + z^2 + c^2 - d^2)^2
>> Now make the section at z = const.
>> For 0 <= z < c-d we get two
eggs in the section.
>>
http://www.angelfire.com/nm/cassinianoval/
There's a study group devoted to them at the link just
above.
At 12:43 PM -0700 8/13/07, Michael Heleus wrote:
>
> Egg shaped curves:
> ------------------
>
> Sei P1 = (x1,y1) ein Punkt des Kreises um (0,d)
mit Radius a.
> (1) (x1-d)^2 + y1^2 = a^2
> Sei P2 = (x2,y2) ein Punkt des Kreises um (0,0)
mit Radius b.
> (2) x2^2 + y2^2 = b^2
> Seien die Punkte P1 und P2 auf einer Geraden durch
den Ursprung.
> (3) y1/x1 = y2/x2
>
> Gesucht ist die Gleichung fuer Q = (x1,y2).
> Vorgehen: Elimination der Variablen x2 und y1.
> Loese (1) nach y1^2 auf und (2) nach x2^2 auf.
> (1') y1^2 = a^2 - (x1-d)^2
> (2') x2^2 = b^2 - y2^2
> Quadriere (3).
> (3') x2^2 y1^2 = x1^2 y2^2
> Setze (1') und (2') in (3') ein.
> (4) (b^2 - y2^2)(a^2 - (x1-d)^2) =
x1^2 y2^2
> Transformation x1 - d -> x und y2 -> y.
> (5) (b^2 - y^2)(a^2 - x^2) = (x+d)^2
y^2
> Expansion
> (6) b^2 x^2 + a^2 y^2 + 2d xy^2 + d^2
y^2 = a^2 b^2
> (7) x^2/a^2 + y^2/b^2 (1 +
(2dx+d^2)/a^2) = 1
>
> Du siehst, fuer d=0 gibt es die Ellipsengleichung
in (a,b) Form.
>
> - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - -
> Granville's egg - quartic [Granville 1929]
> x^2 y^2 + c^2 (x - a) (x - b) =
0 with 0 < a < b
>
> Granville proposed the problem of finding the
volume of the egg
> generated by the revolving the curve about the
x-axis.
> Volume = pi*c^2*( (a+b)*log(b/a) -
2(b-a) )
> [Johnson 1947] calculates the area of the curve
> Area = pi*c*(sqrt(b) - sqrt(a))^2
>
> He makes the substitution r = (b-a)/2 and h =
(b+a)/2.
> x^2 y^2 + c^2 ((x - h) + r) ((x - h) -
r) = 0 or
> x^2 y^2 + c^2 ((x - h)^2 - r^2) =
0 or
> (x - h)^2 + x^2 y^2/c^2 = r^2.
> It is easy to set up a geometric construction for
points of the curve.
> Let P1 = (x1, y2) be a point on the circle at
(h,0) with radius r.
> (1) (x1 - h)^2 + y1^2 = r^2
> Let P2 = (x2, y2) be a point on the line
perpendicular to the x axis at (c,0).
> (2) x2 = c
> Now select P1, P2 in such a way that they are in
line with the origin.
> (3) y1/x1 = y2/x2
> Now make Newton's transformation also called
hyperbolism. That is we are looking
> for the curve of the points Q = (x1, y2). With (2)
and (3) we get y1 = y2 x1/c.
> Then eliminate y1 in (1) we get Granville's egg
> (x1 - h)^2 + y2^2 x1^2/c^2 = r^2
> Note that we get the Witch of Agnesia (Versiera)
for r=h and Kulp's quartic for h=0.
>
> After the translation x -> x+h we get
> y^2 = c^2 (r^2 - x^2)/(x + h)^2
> Now the egg curve is centered. The curve crosses
the x-axis at (r,0) and (-r,0).
> The maximum occurs where hx + r^2 = 0, namely on
the polar of (-h, 0) with
> regard to the base circle. The maximal point is
(-r^2/h, c r/sqrt(h^2-r^2)).
>
> - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - -
>
> Cubic curves as perturbated ellipse:
> Start with an ellipse x^2/a^2 +
y^2/b^2 = 1 with axis a and b.
> Make a small perturbation to the minor
axis b by a linear factor (1 + eps x)
> where eps is a small number. We get
cubic
> (1) x^2/a^2 + y^2/(b^2*(1
+ eps x)) = 1
> As 1 + eps x is almost 1/(1 - eps x)
for small eps the curve looks like
> (2) x^2/a^2 + y^2/b^2 * (1
- eps x) = 1
> The curve is located between two
ellipses with minor axis b+ and b-.
> So you can write the (1) as
> x^2/a^2 + y^2/b^2 =
1
> with b^2 = (
(a-x)*(b-)^2 + (a+x)*(b+)^2 )/(2a).
> and (2) as
> x^2/a^2 + y^2/b^2 =
1
> with 1/b^2 = (
(a-x)/(b-)^2 + (a+x)/(b+)^2 )/(2a).
> I found the parameter set
(a,b-,b+)=(1, 1/2, 3/4) good looking.
> The two forms (1) and (2) can be
combined to
> (3) x^2/a^2 + y^2/b^2 * (1
- eps1 x)/(1 + eps2 x) = 1
> This is the general cubic egg
equation. Each cubic curve which
> is symmetric about the y-axis is of
this type
> A
y^2 x + B y^2 + C x^3 + D x^2 + E x + F = 0.
> But other cubic constructions are
possible. See the "Pearls of Sluze"
> and the Bezier curve.
>
> - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - -
>
> Mechanical egg curve construction by a two bar
linkage - a quartic
>
>
A
>
/ /
>
B /
>
/ /
>
/ /
>
-----------=P=-------------Q----------
>
> Let Q and P be points on a horizontal
axis. Q is fixed.
> The two bars of the linkage are QA and
PA.
> Let QA = r, AP = a, BP = b. (Note that
a need not be greater than r.)
> Now A can be moved around Q on a
circular track. Thereby
> P is moving forth and back. The track
of B is an egg curve.
> B need no be between A and P. Let Q be
the origin of a coordinate
> system. Then the resulting quatic
curve is symmetric in x and y.
> So it actually describes two eggs.
> Such a divise has been described by
[Karl Mocnik 1998].
> An interactive web page with such a
linkage is
> www.museo.unimo.it/theatrum/macchine/
sistema biella-manovella.
> For r=2, a=3, b=2 we get a nice egg
curve.
>
> - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - -
>
> Polynomials making chains of eggs:
> Let f(x) = (x-x1)(x-x2)...(x-xn) be a
polynomial
> with distinct real roots x1, x2, ...
xn.
>
> Example: -f(x) for n=4 looks like this
>
>
x
>
x x
x x
> ------x1----x2--------x3------x4-----
>
x x
x x
>
x x
x x
>
> The equation y^2 = -f(x) will have two
eggs in [x1,x2] and [x3,x4].
> With 2n roots we can create a chain of
n eggs in this way.
>
> - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - -
>
> Newton's cubic: Elliptic curve
> y^2 = x(x+a)(x+b) three
real and unequal roots 0, -a, -b
>
http://home.planet.nl/~wasse170/cubic/cubicn.html
>
>
> ,
,
| '
>
' '
, | '
>
'
' |'
> --b--------------a------+------------------
>
,
, |,
>
, ,
' | ,
> '
'
| ,
>
> Another parametrization which gives
better control of the shape
> a^2 b y^2 = c^2 (x + a)(x - a)(x -
b) with 0 < a < b
>
>
,
,A
' A = (0, c)
>
' '
, '
>
'
' '
> - -a -----0----- +a
-----b------------------
>
,
, ,
>
, ,
' ,
>
'
'
,
>
> The maximal value occures at x = (b -
sqrt(b^2 + 3a^2))/3.
> The radius of curvature of a parabola
y^2 = 2px at x=0 is p.
> Let f(x) = (x + a)(x - a)(x - b) then
f'(a) = 2a(a-b) and
> f'(-a) = 2a(a+b). Therefore the radius
of curvature of the
> egg at x=a is c^2(1/a - 1/b) and at
x=-a it is c^2(1/a + 1/b).
>
> Double Egg quartic:
> y^2 = -c(x+a)(x-a)(x+b)(x-b) = -c(x^2
- a^2)(x^2 - b^2)
> Special case of the polynomial egg
chain.
>
> - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - -
>
> Apollonian cubic:
> (x-a)(x^2 + y^2) + bx + cy = 0
>
http://home.planet.nl/~wasse170/cubic/cubica.html
>
> Given two line segments, what is the
locus of the points P
> from which the angles viewing the
segments are equal.
>
>
> ,
,
D
>
' '
, |
>
'
' |
>
A--------------B |
>
,
, |
>
, ,
' |
> '
'
C
>
>
> - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - -
>
> Transforming the ellipse:
> Inversion of the ellipse at a focal
point = Limacon of Pascal:
> ellipse in polar form: r = k e/(1 + e
Cos(phi))
> with eccentricity e is 0
< e < 1.
> Limacon in polar form: r = k' (e' +
Cos(phi))
>
> Inversion of the ellipse:
> (x - c)^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
ellipse at (c, 0).
> Inversion at the origin is the
transformation x->x/r^2, y->y/r^2.
> (x - c (x^2 + y^2))^2/a^2 + y^2/b^2 =
(x^2 + y^2)^2
>
> Negative Pedal curve of the ellipse
(ovoid): (Lockwood 1967)
>
> - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - -
>
> Limacon Graphics Gallery:
>
http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/LimaconGGallery_dir/limaconGGallery.html
>
http://home.planet.nl/~wasse170/roulette/roulettel.html
>
> - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - -
> Toric sections - hippopede of Proclus: analyzed by
Perseus
>
> The toric with two radii 'c' and 'd'.
> 4 c^2 (x^2 + z^2) = (x^2 +
y^2 + z^2 + c^2 - d^2)^2
> Now make the section at z = const.
> For 0 <= z < c-d we get two eggs
in the section.
>
>
http://www.angelfire.com/nm/cassinianoval/
>
> - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - -
>
> The Family r = cos^p(phi)
or
[M\"unger Eggs]
>
x^q = x^2 + y^2 with q = 2p/(p+1):
>
> Fat Egg: [sectic, p=1/5, q=1/3]
> r = (cos(phi))^(1/5)
> r^5 = x/r => x = (x^2 + y^2)^3
=> x^(1/3) = x^2 + y^2
>
> Fat Egg: [quartic, p=1/3, q=1/2]
> r = (cos(phi))^(1/3)
> r^3 = x/r => x = (x^2 + y^2)^2
=> x^(1/2) = x^2 + y^2
>
> Fat Egg: [sectic, p=1/2, q=2/3]
> r = sqrt(cos(phi))
> r^2 = x/r => x^2 = (x^2 + y^2)^3
=> x^(2/3) = x^2 + y^2
>
> Circle: [quadratic, p=1, q=1]
> r = cos(phi)
> r = x/r => x = (x^2 + y^2) => (x
- 1/2)^2 + y^2 = 1/2^2
>
> Double Egg: [sextic, p=2, q=4/3]
> Inverse of the Kampyle
> r = cos^2(phi) [ F.
M\"unger 1894 ]
> r = x^2/r^2 => x^4 = (x^2 + y^2)^3
=> |x|^(4/3) = x^2 + y^2
>
> Folium: falsches Kepler Ei [quartic,
p=3, q=3/2]
> Pedal curve of the Tricuspoid (point
is at the cusp)
> r = cos^3(phi)
> r = x^3/r^3 => x^3 = (x^2 + y^2)^2
=> x^(3/2) = x^2 + y^2
>
> Egg: [sextic, p=5, q=5/3]
> r = cos^5(phi)
> r = x^5/r^5 => x^5 = (x^2 + y^2)^3
=> x^(5/3) = x^2 + y^2
>
> - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - -
>
> Multifocal Curves - Tschirnhaussche Eikurven
>
> CASSINIENNE - multi cassinian curves
>
http://perso.club-internet.fr/rferreol/encyclopedie/courbes2d/cassinienne/cassinienne.shtml
>
> - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - -
>
> Pivot transform construction of Path-curves:
>
> Given two function f(t) and g(t) with
range R+ or [0,a].
> One function is monotonic increasing
the other monotonic
> decreasing. We are interested in the
path of the crossing
> point in the diagram below.
>
>
|
|
>
|
+
>
|
/ |
>
|
|
>
+
/ |
> |
\
|
> |
\ / |
> |
\ |
> |
\/ |
> f |
:\ | g
> | /
: \ |
>
| :
\ |
> | / :
y \ |
>
|
: \ |
> A---a----+-----b----B
>
> a:y = a+b:g and b:y = a+b:f gives by
addition
>
> 1/y = 1/f + 1/g
>
> Let A = (-1,0) and B = (1,0) then a+b
= 2 and a-b = 2x
> add by subtraction we have.
>
> x/y = 1/g - 1/f
>
> If f^p g^q = const then with some
constant c
>
> (1 + x)^p (1 -
x)^q = (c y)^(p+q)
>
> Maximal value at x = (p-q)/(p+q)
> so x divides the line -1, 1 as p:q.
>
> Examples: (p,q,c)
> (1,1,1) is the circle
> (2,1,2)
> (3,2,3/2)
>
(Fib(n+1),Fib(n),Fib(n+1)/Fib(n)) Fibonacci Eggs
>
> This is a special case of the
"Pearls of Sluze" (named by B. Pascal)
> y^n = k (a-x)^p x^q
> which was studied by deSluze (1657-1698).
>
> - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - -
>
> Bezier Curve: with control points A, B, C,
D.
>
>
___---C
>
___--- |
>
B--- |
> |
|
>
|
|
> ---A-------+-------D---
>
> A=(-1, 0)
> B=(-1, a)
> C=( 1, b)
> D=( 1, 0)
>
>
> Egg curve: t in [-1, 1]
>
> x(t) = (3t - t^3)/2
> y(t) = 3 ( (a+b) + (-a+b)t + (-a-b)t^2
+ (a-b)t^3 ) / 8
> =
3*(1-t)*(1+t)*( a*(1-t) + b*(1+t) )/8
>
> x'(t) = 3 (1 - t^2)/2
> y'(t) = 3 ( (-a+b) + 2(-a-b)t +
3(a-b)t^2 ) / 8
>
>
> Egg curve: t in [0,1].
> With Bernstein Polynomials B[n,k](t) =
Binomial[n,k] * t^k * (1-t)^(n-k)
>
> (x(t), y(t)) = A*B[3,0](t) +
B*B[3,1](t) + C*B[3,2](t) + D*B[3,3](t)
>
> x(t) = - B[3,0](t) - B[3,1](t) +
B[3,2](t) + B[3,3](t)
> = -1 + 2
B[3,2](t) + 2 B[3,3](t) = -4 t^3 + 6 t^2 - 1
> y(t) = a*B[3,1](t) + b*B[3,2](t)
> =
3*t*(1-t)*( a*(1-t) + b*t )
>
> x'(t) = 12 t (1-t)
> y'(t) = 3 ((1-t)(1-3t)a + t(2-3t)b)
>
> The elimination of the parameter t
gives a polynomial
> of order 3 in x and y. So again we have
a cubic.
>
> - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - -
>
>
> References: Egg Curves, Ovals, Ovoid (Eikurve,
Eilinie)
>
> - Ball, N. H.
> On ovals.
> American Mathematical Monthly 37,
348-353 (1930).
> JFM 56.0655.09
> review article
> - four-vertex theorem
> - inequalities
>
> - P. Baudoin;
> Les ovales de Descartes et le limaµon
de Pascal, Vuibert, Paris (1938)
>
> - Brunn, H.
> Ueber Ovale und Eifl\"achen.
> Dissertation M\"unchen.
> Published: (1887)
> JFM 19.0615.01
>
> - Brunn, H.
> Ueber Curven ohne Wendepunkte,
> M\"unchen, Th. Ackermann (1889)
74S
> JFM 21.0815.01
>
> - Brunn, H.
> Referat \"uber eine Arbeit:
Exacte Grundlagen f\"ur eine Theorie der Ovale.
> M\"unch. Ber. XXIV. 93-111.
> Published: 1894
> JFM 25.0873.03
>
> - A. Cayley;
> On the mechanical description of
certain quartic curves,
> by means of a modified oval chuck,
> Proc. of the London Mathematical
Society IV (1872) 186-190
> JFM 04.0346.02
>
> - A. Cayley;
> On the mechanical description of a
Cartesian,
> Quart. J. XIII (1874) 328-330
> JFM 07.0350.02
>
> - Cartesian oval - Ovales de Descates
>
http://home.wxs.nl/~wasse170/quartic/quarticct.html
>
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Cartesian.html
>
> - C. Ch. Engberg;
> The cartesian oval,
> Nebraska Grad. Bull. 1 () 23-34
> JFM 31.0596.02
> the relation of
>
parabel y^2 - 2Ay - 2Bx + C^2 = 0 and
> cartesian oval r^2 - 2Ar - 2Bx + C^2 =
0
> where r^2 = x^2 + y^2.
>
> - Martin Gardner;
> Geometrie mit Taxis, die Koepfe der
Hydra und andere
> mathematische Spielereien.
> Aus dem Amerikanischen von Anita
Ehlers.
> (The last recreations: hydras, eggs,
and other mathematical mystifications).
> Basel: Birkhaeuser. 297 S. DM 39.80;
oeS 291.00; sFr. 34.00 (1997).
> [ISBN 3-7643-5702-9/pbk]
>
> - Gebel und Seifert;
> Das Ei einmal anders betrachtet, (eine
Schuelerarbeit)
> Junge Wissenschaft 7 (1992) H.28, S.8
> y^2 = (0.023x + 0.6) (1/4 - (x -
1/2)^2) Kreis mit Linearfaktor
> = (0.023x +
0.6) x (1 - x)
> Das ist ungefaehr 43 y^2 = (x + 26) x
(1 - x)
> - Ellipse mit linearer Stoerung von
b^2.
>
(x/a)^2 + (y/b(x))^2 = 1
> b(x) = ( (a-x)*b1 +
(a+x)*b2 )/(2a). Beispiel (a,b1,b2)=(1, 1/2, 3/4)
>
> - Oswald Giering;
> Bestimmung von Eibereichen und
Eik\"orpern durch
> Steiner-Symmetriesierungen,
> 1962, Stuttgart, TH, Dissertation
>
> - W. A. Granville;
> Elements of the differential and
integral calculus.
> Revised by {P. F. Smith} and {W. R.
Longley}
> 516 p. Boston, Ginn \& Co. (1929)
> JFM 55.0729.06
> - p 380, ex. 19
> x^2 y^2 + c^2 (x - a) (x -
b) = 0
>
> - Paul Hoffman;
> Archimede's Revenge, 1988,
> chapter 5 "Adventures of an Egg
Man"
>
> - Wolfgang Hortsch;
> Alte und neue Eiformeln in der
Geschichte der Mathematik,
> M\"unchen, Selbstverlag 1990, 30S
>
> - R. A. Johnson;
> An ornithological note,
> American Mathematical Monthly 54
(1947) 594-595
> - discusses Granville's egg x^2 y^2 +
c^2 (x - a) (x - b) = 0.
>
> - M\"unger, F.
> Die eif\"ormigen Curven.
> [Dissertation] Bern. K. J. Wyss. 46 S.
> Published: 1894
> JFM 25.1154.03
> Eine nach allen Seiten hin erstreckte
Bearbeitung solcher Curven, welche
> durch gewisse geometrische
Constructionen aus dem Kreise abgeleitet werden
> k\"onnen und darin
\"ubereinstimmen, dass die Glieder h\"ochster Dimension
> ihrer Gleichung von der Form
(x^2+y^2)^n sind.
>
> - Rump, F. H.
> Construction und Berechnung von
Ovalen. (German)
> Pr. Coesfeld. 1870.
> Published: 1870
> JFM 02.0516.01
> Die Arbeit enth\"alt einige
allgemeine Aufgeben \"uber Construction und
> Ovalen, wenn eine der Axen des Ovals
oder beide gegeben sind. Die
> Constructionen werden durch Kreise
ausgef\"uhrt, deren Mittelpunkte die
> Ecken von gewissen gleichseitigen oder
gleichschenklig-rechtwinkligen
> Dreiecken sind. Die Berechnung
erstreckt sich auf Berechnung des Umfangs
> und Inhalts der Ovale. Den Schluss
bildet die Construction der Eilinie,
> wenn deren L\"ange und Breite
gegeben ist.
>
> - Hans Schupp, Heinz Dabrock;
> H\"ohere Kurven,
> Situative, mathematische, historische
und didaktische Aspekte,
> BI Wissenschaftsverlag 1995, ISBN
3-411-17221-5
> - Referenzen zu Eikurven, wie Hortsch,
M\"unger, Gebel und Seifert
>
> - Karlheinz Spallek;
> Kurven und Karten,
> BI Wissenschaftsverlag 1980
> - Kapitel: Das Ei des Kolumbus
> (steht das Ei r=cos^n(phi)
?)
> [M\"unger Eggs]
> Zbl 445.53001
>
> - A. Wittstein;
> Notiz ueber das eigentliche Oval,
> Hoppe Archiv (3) XIV (1895) 109-111
> JFM 26.0685.02
>
> - Walter Wunderlich;
> Zur Geometrie der Vogeleier.
> Sitzungsber., Abt. II, \"Osterr.
Akad. Wiss.,
> Math.-Naturwiss. Kl. 187, 1-19 (1979).
[ISSN 0723-9319]
> Zbl 0414.51015
> (x^2 + y^2)^2 = a*x^3
(M\"unger Eggs)
>
> If you want more articles about ovals
look under
> http://www.emis.de/MATH/JFM/JFM.html
> for "titles" containing
"oval*"
> or "global index" containing
"oval*"
> I got 230 hits!
>
>
> - Holditch -
> -------------
>
> - Arne Broman;
> Holditch's Theorem. A fresh look at a
long-forgotten theorem,
> Mathematics Magazine 54:3 (1981)
99-108
> Zbl 468.51005
>
> - Mark J. Cooker;
> An extension of Holditch's Theorem,
> The Mathematical Gazette 82 No 494
(July 1998) 183-188
> mailto:M.Cooker@uea.ac.uk
>
> - Leonhard Hering;
> Holditch-Saetze fuer Regelflaechen und
deren Uebertragung auf
> ebene und sphaerische Kurven,
> Dissertation Fachbereich Mathematik
der Technischen Hochschule Darmstadt,
> 1981, 140S.
> Zbl 482.53009
>
> - Leonhard Hering;
> Saetze vom Holditch-Typ fuer ebene
Kurven,
> Elemente der Mathematik 38 (1983)
39-49
> Zbl 506.53001
>
> - Leonhard Hering;
> Holditch-Saetze fuer Regelflaechen
bzw. sphaerische Kurven,
> J. Geom. 20 (1983) 85-100
> Zbl 515.53007
>
>
> - Egg Pages -
> -------------
>
> - J\"urgen K\"oller;
> Eilinien, Eikurven, Ovale
>
http://www.mathematische-basteleien.de/
>
http://www.mathematische-basteleien.de/eilinien.htm (German)
>
http://www.mathematische-basteleien.de/eggcurves.htm (English)
>
> - Egg Math
> http://chickscope.beckman.uiuc.edu/explore/
>
> - Mathematik rund ums Ei;
> H.-G. Weigand
(Projektverantwortlicher)
> weigand@mathematik.uni-wuerzburg.de
> Universit\"at W\"urzburg
Lehrstuhl f\"ur Didaktik der Mathematik
> http://www.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/mathei/
> - Kurven: Ellipse, Cartesian, Descates
> - Einalysis: Ellipse mit linearer
Stoerung von b.
>
(x/a)^2 + (y/b(x))^2 = 1
>
> - ???
> http://www.pandd.demon.nl/eipyth.htm
>
> - ???
> http://www.matematiksider.dk/ellipser.html
>
> - william w chow;
> Understanding the Vegreville Pysanka,
>
http://www.geocities.com/williamwchow/egg/e-egg.htm
>
>
> - Eggs made of args -
> ---------------------
>
> - Brian Bolt;
> Even more mathematical activities,
> Cambridge Univ. Press, 1987
> (german: Die dritte mathematische
Fundgrube,
> Klett Verlag, 1993, ISBN
3-12-722730-2)
> Sect 19: Steinkreise, mathematisch
betrachtet, p16-19, 145
>
> - Robert Dixon;
> Mathographics,
> New York, Dover Publ. 1991.
> p 6
>
> - Bruno Ernst;
> Een eitje, zo'n eitje (ei-vormen),
> Pythagoras (Oct 2000)
> http://www.pandd.demon.nl/eipyth.htm
>
> - Ei des Kolumbus (Anker)
>
> - Albrecht D\"urer;
> Underweysung, 1528
> His egg is not smooth.
>
> - Scriba, Schreiber;
> 5000 Jahre Geometrie,
> Springer Verlag 2000,
> Abb. 5.5.7: D\"urers Ei
> His egg is not smooth.
>
>
> - Eggs made of elliptical args -
> --------------------------------
>
> Gaertnerkonstruktion mit mehreren
Pfloecken.
>
>
> - Sections - conic - vortex - toric -
> -------------------------------------
>
> - W. V. Brown;
> The cartesian oval and related curves
as sections of the anchor ring,
> Annals of Mathematics VI (1892)
161-162
> JFM 24.0701.01
>
> - C. W. Merrifield;
> Cartesian ovals regarded as projected
intersections of the second degree,
> Messenger (2) III (1874) 141-142
> JFM 06.0385.04
> section of conic and sphere ->
cartesian oval
>
> - C. W. Merrifield;
> Cartesian ovals considered as conic
intersections,
> Messenger (2) V (1875) 148
> JFM 06.0385.04
> section of two conic of parralel axis
-> cartesian oval
> - Norbert Harthun; Ines Rennert;
> nach Viktor und Walter Schauberger
> Pythagoras Kepler System
>
http://members.aon.at/pks.or.at/Ei-Kurven.html
> - Schnitt des hyperbolischen Trichters
>
> -
> http://www.mathematrix.de/
> Hier wird der Kegel mal krum
abgeschnitten.
> Es werden dann die Projektionen
betrachtet.
>
>
> - Multifocal curves -
> ---------------------
>
> - M. W. Crofton;
> On various properties of bicircular
quartics,
> Proc. of the London Mathematical
Society II (1869) 33-45
> JFM 02.0418.01
> Trifocal curves
>
> - Eugene Ehrhart;
> Ueber eine Klasse von Eilinien und
Eiflaechen,
> Sitzungsber., Abt. II, Oesterr. Akad.
Wiss.,
> Math.-Naturwiss. Kl. 190, 495-513
(1981).
> Zbl 0501.51010
>
> - James Clerk Maxwell;
> Adolescence - 1844 to 1847 (13-16)
>
http://www.hrshowcase.com/maxwell/chpt_4.html
> Trifocal curves - meloid, apioid
>
> - Sz.-Nagy, Gyula
> Tschirnhaussche Eiflaechen und
Eikurven. (German)
> Acta Math. Acad. Sci. Hung. 1, 36-45
(1950).
> Zbl 040.38402
> Die multipolaren Koordinaten r_i
(i=1,2,...,n) eines Raumpunktes P sind
> die Abst\"ande von n festen
Brennpunkten F_i. Eine Tschirnhaussche Fl\"ache
> n-ten Grades E_n(R) ist durch die
lineare Gleichung
> p_1 r_1 + p_2
r_2 + ... + p_n r_n = R
> (p_i > 0, p_1 + p_2 + ... + p_n =
1, R >= 0) charakterisiert.
> Sie ist, wie sich leicht feststellen
l\"asst, konvex.
> Ist R_0 bei festem F_i und p_i der
kleinst m\"ogliche Wert von R,
> so heisst E_n(R_0) Kern der konfokalen
Fl\"achenschar f\"ur R >= R_0.
> Es handelt sich um einen Kernpunkt
oder um eine Kernstrecke;
> das letztere ist nur dann
m\"oglich, wenn die Brennpunkte auf
> einer Geraden liegen.
> Ist K eine Umkugel der n Brennpunkte
vom Radius r, so liegt die Eifl\"ache
> E_n(R) ganz in der abgeschlossenen
Kugelschale, die mit K konzentrische
> ist und die Radien R+r und R-r
aufweist; ist hier der innere Radius
> negativ, so tritt die Vollkugel an die
Stelle der Kugelschale.
> Jede Normale der Eifl\"ache
E_n(R) trifft die konvexe H\"ulle ihrer
> Brennpunkte. -- Diese und andere
einfache Eigenschaften der Tschirnhausschen
> Eifl\"ache werden auf elementare
Weise gewonnen.
>
> - S. Robert;
> On the ovals of Descartes,
> Proc. of the London Mathematical
Society III (1871) 106-126
> JFM 03.0336.06
>
> - Junpei Sekino;
> n-ellipses and the minimal distance
sum problem,
> American Mathematical Monthly 106:3
(1999) 193-202
> - multifocal curves with weight one.
>
> - CASSINIENNE - multi cassinian curves
>
http://perso.club-internet.fr/rferreol/encyclopedie/courbes2d/cassinienne/cassinienne.shtml
>
>
> - Path curves - W-curves -
> --------------------------
>
> - Clopper Almon;
> Path curves, an introduction to the
work of L. Edwards on bud forms.
> Open Syst. Inf. Dyn. 2, No.3, 265-277
(1994)
> Zbl 894.92003
> The classic work of L. Edwards [The
field of forms. (1982)] on plant-bud
> forms is here described in modern
mathematics for the first time. Edwards
> found that about 120 of a total of 150
species he measured in Australia,
> New Zealand and Scotland could each be
well-described (statistically) by
> a unique projectively invariant curve
winding around it from base to tip.
> Only linear algebra and calculus is
required of the reader.
>
> - Antonelli, P.L.
> On the differential geometry of
Edwards' plant bud surfaces.
> Open Syst. Inf. Dyn. 4, No.2, 119-123
(1997).
> Zbl 899.53005
>
> - Ostheimer, Christian; Ziegler, Renatus;
> Skalen und Wegkurven. Einfuehrung in
die Geometrie von Wegkurven.
> Mit einem Beitrag von Dieter Koetter:
> ``Elementare Geometrie der ebenen
$W$-Kurven''.
> (Scales and projectivities.
Introduction to the geometry of
> plane curves and surfaces. With
a contribution of
> Dieter Koetter on ``Elementary
geometry of plane-$W$-curves'').
> Mathematisch-Astronomische Blaetter.
Neue Folge. 19.
> Dornach: Philosophisch-Anthroposophischer
Verlag am Goetheanum. ix, 256 S.
> (1996). [ISBN 3-7235-0952-5/pbk]
> Zbl 909.51006
>
> - Nick C. Thomas;
> Pivot Transforms,
> http://www.anth.org.uk/NCT/people.htm
(see the references for this work)
>
http://www.anth.org.uk/NCT/pivot.htm (a short description)
>
http://www.anth.org.uk/NCT/path.htm (some eggs)
> (path curves)
>
> - Klein, F.; Lie, S.
> Ueber diejenigen Curven, welche durch
ein geschlossenes System von einfach
> unendlich vielen vertauschbaren
linearen Transformationen in sich \"ubergehen.
> [J] Clebsch Ann. IV. 50-84.
> Published: (1871)
> JFM 03.0348.01
> Bezeichnet, wie es hier stets
geschieht, Transformation die Substitution
> einer Funktion von Coordinaten fÏr die
Coordinaten, so ist die Folge einer
> Transformation eine Ver\"uckung
des durch die letztern bestimmten Punktes oder
> Raumgebildes. Der Aufsatz handelt nun
von denjenigen ebenen Curven, welche
> durch lineare Transformationen
unverÌndert bleiben, und welche daselbst den
> Namen $W$-Curven fÏhren. Man gelangt
zu ihnen, indem man die lineare
> Transformation, welche eine unendlich
kleine Verr\"uckung bewirkt, unendlich
> oft wiederholt. Die durch die
erhaltene Punktreihe gehende Curve wird dann
> durch eine endliche Transformation
gleicher Art nicht verÌndert. Alle
> m\"oglichen linearen
Transformationen lassen sich nun aus folgenden 5 einfachen
> zusammensetzen: $$\text{I.}\quad
\matrix \format\l\\ x'=ax\\ y'=by,\endmatrix
> \qquad \text{II.}\quad
\matrix\format\l\\ x'=ax\\ y'=y+b\endmatrix\qquad
> \text{III.} \quad \matrix\format\l\\
x'=x+a\\ y'=y+ax+b,\endmatrix$$
> $$\text{IV.}\quad \matrix\format\l\\
x'=ax\\ y'=ay\endmatrix \qquad
> \text{V.}\quad\matrix\format\l\\
x'=x+a\\ y'=y+b\endmatrix$$ sÌmmtlich von
> der Beschaffenheit, dass die
Wiederholung einer jeden nur eine Transformation
> derselben Classe f\"ur neue Constantenwerthe
ergiebt. Bildet man das Resultat
> einer $\lambda$ maligen Wiederholung,
setzt $$x' = x + dx; \quad y' = y +
> dy$$ und $d\lambda$ f\"ur
$\lambda$, und eliminirt $d\lambda$ durch Division,
> so erh\"alt man die Differentialgleichung
der $W$-Curve f\"ur jede der 5
> Transformationsklassen. Die $W$-Curven
sind dann die folgenden:
> $$\text{I.}\quad
\left(\frac{x}{x_{0}}\right)^{b} =
> \left(\frac{y}{y_{0}}\right)^{a},
\qquad \text{II.}\quad a (y - y_{0}) = b\,
> \log \frac{x}{x_{0}},$$
$$\text{III.}\quad a (x^{2} - 2y) - bx = a (x_{0}^{2}
> - 2y_{0}) - bx_{0},$$
$$\text{IV.}\quad \frac{x}{x_{0}} = \frac{y}{y_{0}},
> \qquad \text{V.}\quad a(y - y_{0}) =
b(x - x_{0}).$$ Aus der genannten
> Eigenschaft der Curven folgt dann
weiter, dass auch alle Gebilde, die zu
> ihnen in fester Beziehung stehen, z.
B. die Tangenten und deren
> Schnittpunkte, diese Beziehung bei
jeder Transformation gleicher Classe f\"ur
> gleiche Constantenwerthe
unver\"andert behalten. Es sind dies alle im Sinne
> der neuern Algebra covarianten
Beziehungen zu dem von der $W$-Curve und dem
> Fundamentaldreieck (Coordinatensystem)
gebildeten Systeme. Unter den
> Eigenschaften der $W$-Curven, die
hieraus folgen, sind insbesondere
> genannt: \par Curven eines Systems
k\"onnen sich nur in Eckpunkten des
> Fundamentaldreiecks schneiden. \par
Curven $W$ besitzen in keinem ihrer
> Punkte, ausser etwa in den Eckpunkten
des Fundamentaldreiecks,
> Singularit\"aten. \par Jede
covariante Curve einer $W$-Curve ist eine Curve
> desselben Systems. \par Die
Umh\"ullungslinie der aus den linearen
> Transformationen eines
$W$-Curvensystems, auf eine andere Curve angewandt,
> hervorgehenden Curven besteht aus
$W$-Curven desselben Systems. \par Es
> werden dann weiter die verschiedenen
Transformationsklassen combinirt, und
> die Bedingungen der Vertauschbarkeit
ihrer Reihenfolge untersucht. Hierzu
> geh\"ort, dass die Elemente der
Ebene, welche bei der einen fest bleiben,
> auch bei der andern fest bleiben, oder
durch dieselbe unter sich vertauscht
> werden. Ferner sollen die Systeme von
Transformationen, die man erh\"alt,
> indem man die Constanten alle Werthe
durchlaufen l\"asst, derart sein, dass
> sie in keinem umfassenderen enthalten
sind. Es sind dies wiederum f\"unf,
> deren erste drei mit den einfachen
gleichlauten. An Stelle der beiden
> andern treten: $$\align x' = x+a &
\qquad\qquad x'=x\\ y'=y+b &
> \qquad\qquad y'=y + ax + b.\endalign$$
Anwendungen werden hiervon gemacht
> auf beliebige andere Curven als
Elemente der Ebene, indem sie den genannten
> Transformationen unterworfen werden.
Unter den specielleren sind folgende
> S\"atze zu erw\"ahnen: \par
Die reciproke Polare einer $W$-Curve hinsichtlich
> eines Kegelschnitts, der das
Fundamentaldreieck zum Polardreieck hat, ist
> eine Curve desselben Systems. Die
$W$-Curve ist dann ihre eigene reciproke
> Polare, wenn sie vom Kegelschnitt
ber\"uhrt wird. \par Das Doppelverh\"altniss
> der Tangente einer $W$-Curve zu den 3
Geraden, welche ihren Ber\"uhrungspunkt
> mit den Ecken des Fundamentaldreiecks
verbinden, ist constant. \par Die
> Betrachtung der Differentialgleichung
der $W$-Curve f\"uhrt zu einer Methode
> der Separation der Variabeln, von
welcher die auf homogene Gleichungen
> gew\"ohnlich angewandte nur ein
specieller Fall ist. Sie l\"asst sich auf jede
> Gleichung $$\frac{dy}{dx} = f (y, x)$$
anwenden, die durch einfach
> unendlich viele Transformationen in
sich \"ubergeht. Sei n\"amlich $y=\kappa$
> die Gleichung aller solcher Curven,
die durch diese Transformationen in
> sich \"ubergehen, und $\xi =
\lambda$ die Gleichung des Curvensystems, das
> aus einer beliebigen Curve $\xi =
\lambda_{1}$ durch Anwendung derselben
> Transformation hervorgeht, dann durch
Einf\"uhrung von $\xi$, $\eta$ f"ur $x$,
> $y$ die gegebene Gleichung in eine
solche \"uber, in welcher die Variabeln
> separirt sind. \par Den Schluss bildet
eine Anwendung auf Raumcurven.
> [ Hoppe, Prof. (Berlin) ]
> Subject heading: Neunter Abschnitt.
Analytische Geometrie. Capitel 2.
> Analytische Geometrie der Ebene. D.
Andere specielle Curven.
>
>
> - Astronomy -
> -------------
>
> - E. Lloyd, A. Hirst;
> Cassini, his ovals and a space probe
to Saturn.
> The Mathematical Gazette. (1997) v.
81(492) p. 409-421.
> MATHDI 2000c.02060
> The space probe to Saturn launched by
NASA in 1997 was named after
> Cassini who discovered the dark gap
between the rings of the planet.
> He also proposed that planets move in
orbits now called Cassini ovals.
> An ellipse is the locus of a point
which moves so that the sum of its
> distances from two fixed points is
constant; a Cassini oval consists
> of a point moving so that the product
of its distance from two fixed
> points is constant. Various properties
of the curve are derived.
>
> - F. P. Matz;
> Problem ME-40,
> American Mathematical Monthly 3 (1896)
187 problem by F. P. Matz
> American Mathematical Monthly 4 (1897)
22 solution by G. B. M. Zerr
> Find the law of the force, in order
that the orbit may be a Cassinian Oval.
>
> - F. P. Matz;
> Problem 3419,
> American Mathematical Monthly 37
(1930) 196 problem by F. P. Matz
> American Mathematical Monthly 38
(1931) 53 solution by Norman Anning
> Determine the law of the force, in
order that the orbit be a Cassinian oval.
>
> - Karl Mocnik;
> Ellipse, Ei-Kurve und
Appolonius-Kreis.
> (engl. Ellipses, ovals and apollonius
circle.)
> PM. Praxis der Mathematik.
Sekundarstufen 1 und 2.
> Vereinigt mit "Didaktik der
Mathematik". (1998) v. 40(4) p. 165-167
> mailto:Karl.Mocnik@oeaw.ac.at
> MATHDI 1998e.03836
> Die Ellipse bietet stets neue
Einsichten, deren Betrachtung sich
> insbesondere fuer den Schulunterricht
eignen. Es wird gezeigt,
> dass die Ellipse mit dem
Apolionius-Kreis durch Vermittlung
> einer Eikurve zusammenhaengt.
>
> - Karl Mocnik;
> Bevorzugte Kepler die Eibahn?
> PM. Praxis der Mathematik.
Sekundarstufen 1 und 2.
> Vereinigt mit "Didaktik der
Mathematik". (2001) v. 43(2) p. 89
> Schwerpunktthemenheft 24:
Geschichte(n)
> mailto:Karl.Mocnik@oeaw.ac.at
> - "Wenn bloss die Form eine
vollkommene Ellipse waere, liessen sich
> alle Antworten bei
Archimedes und Apollonius finden."
>
> - E. Oekinghaus;
> Die Cassini'sche Linie in ihrer
Beziehung zur Bewegung der Himmelk\"orper,
> Wochenschrift fuer Astronomie (2) XXXI
(1888) 316-318
> JFM 22.0902.02
> Nimmt man den Polarradius einer Curve
gleich der Geschwindigkeit v eines Planeten,
> den Polarwinkel gleich der wahren
Anomalie, so ist diese Curve ein Cassini'sches Oval.
>
> - Padraig O Searcaigh;
> The Torus,
>
http://www.angelfire.com/nm/cassinianoval/
>
> - J. Sivardiere;
> Kepler Ellipse or Cassinian oval?
> European Journal of Physics 15:2
(1994) 62
>
>
> - Collections of curves -
> -------------------------
>
> - J. Dennis Lawrence;
> A catalog of special plane curves,
> Dover Publications, Inc., New York,
1972, 229pp
> ISBN 0-486-60288-5
>
> - E. H. Lockwood;
> A Book of Curves.
> Cambridge, England: Cambridge
University Press, p. 157, 1967.
> calls the Negative Pedal Curve of an
Ellipse with Eccentricity an ovoid.
>
> - E. V. Shikin;
> Handbook and atlas of curves, CRC
Press, Boca Raton FL (1995).
>
>
> - ??? -
> -------
>
> - M. Zettler;
> Ei, Ei, Ei,
> PM Heft 2 (2000) 82
> zwei cubische Eiformeln mit
Funtionsgraphen
> y^2 = 0.6^2 x(x-1)(x-2) mit
0<=x<=1
> y^2 = (2/9)^2 x(x-8)(x-15) mit
0<=x<=8
>
> - M. Zettler;
> ... Ei,
> PM Heft 3 (2000) 129
> eine cubische Eiformel mit
Funtionsgraphen
> y^2 = 0.35^2 x(x-4)(x-6) mit
0<=x<=4
>
> - W. S\"u{\ss};
> Zur relativen Differentialgeometrie.
I:
> \"Uber Eilinien und
Eifl\"achen in der elementaren und affinen
> Differentialgeometrie.
> Japanese Journ. of Math. 4, 57-75
(1927).
> JFM 53.0700.01
>
> - W. S\"u{\ss};
> Einige mit dem Vierscheitelsatz
f\"ur Eilinien zusammenh\"angende S\"atze.
> Tohoku Math. Journ. 28, 216-220
(1927).
> JFM 53.0712.04
>
> - S. Maennel;
> Aufgaben zu mathematischen Eilinien
und Eik\"orpern,
> MNU (8/1989) 498
> eine Eikurve aus Kreisboegen (das Ei
des Kolumbus).
> Aufgaben: Oberflaeche, Volumen,
Schwerpunkt des Rotationskoerpers
> bestimmen. Keine Lsgen angegeben.
>
> - K. Treitz;
> Ostergruss,
> MNU (2/1998) 73
> Kartesiche Eiformael (bifocal): 3*r1 +
2*r2 = 10
> Abstand der Focii ist 3.
>
> - Nagy, Gy.F.
> Ein eif\"ormiges
Geschwindigkeits-Diagramm. (An egg-shaped velocity diagram).
> R\"oschel, O. (ed.) et al.,
Geometrie-Tagung ``107 Jahre Drehfluchtprinzip'',
> Vorau, \"Osterreich, 1. Juni-6.
Juni 1997.
> Tagungsband. Vorau: TU Graz, 62-68
(1999).
> Zbl 0942.53015
> He tires to find parameters such that
the diagram matches the shape of a
> real bird-egg. He could for the
Lapwing (Vanellus vanellus), but failed
> for the Black-tailed Godwit (Limosa
limosa).
>
> - Roger Herz-Fischler;
> D\"urer's paradox or why an
ellipse is not egg-shaped.
> Math. Mag. 63, No.2, 75-85 (1990).
> Zbl 0707.01008
>
> Welche Linie entsteht wirklich beim schrägen
Schnitt von Kegel und Ebene,
> die in der ``Underweysung der Messung mit dem
zirckel und richtscheyt'',
> N\"urnberg 1525, von Albrecht D\"urer
als ``die lini elipsis'' bezeichnet
> wird? D\"urer liess diese Frage
unbeantwortet, denn in seiner - aus heutiger
> Sicht - relativ ungenauen geometrischen
Konstruktion konnte man die
> entsprechende Figur zu Recht ``die eyer lini
Elipsis'' nennen. ``It also
> seems to me that we must presume that Dürer
thought that the ellipse was
> indeed egg-shaped'' (S. 84) stellt Verf. fest,
nachdem er in einem äusserst
> klar geschriebenen Beitrag mittels analytischer
Methoden die Ellipsengleichung
> f\"ur D\"urers Konstruktion herleitete.
- Bei so interessanten Abhandlungen ist
> es schade, dass z.B. Figur 6a einige
sinnentstellende Bezeichnungen enthaelt,
> die nur auf eine nicht ausreichende Anzahl von
Satzkorrekturen zurueckzufuehren
> sind.
>
>
> --
> http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~sillke/
> mailto:Torsten.Sillke@uni-bielefeld.de
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